単振動 - 物理 - マナブスコープ

単振動

速度・加速度・位相

振幅を $A$ [m]、周期を $T$ [s]、振動数を $f$ [Hz]とすると、

$x=A\sin\omega t$

$v=A\omega\cos\omega t$

$a=-A\omega^{2}\sin\omega t$

$a=-\omega^{2}x$

$\displaystyle \omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$

なお、角度を表す $\omega t$ の部分を位相という。

復元力

元の状態に戻ろうとする力

$a=-\omega^{2}x$ を運動方程式 $F=ma$ に代入すると、

$F=-m\omega^{2}x$

∴ $a=-\omega^{2}x$

※この $F=-$ ○ $x$ の形は復元力を表す

単振動の問題を解く手順

単振動の問題では、原点を力のつりあう位置とする。

1.運動方程式 $ma=-$ ○ $x$ をたてて、それを $m$ でわって $a=-\displaystyle \frac{\circ}{m}x$ ･･･①の形に

2.①と $a=-\omega^{2}x$ を比較して $\omega$ を求める。

水平ばね振り子

振動の中心をつりあいの位置として考える。

ばね定数を $k$ 、振幅を $A$ とすると、

位置 $x$ について運動方程式を立てて、
$ma(=F)=-kx$ 　←単振動の式 $F=-$ ○ $x$ の形
両辺を $m$ で割って、 $a=-\displaystyle \frac{k}{m}x$ ･･･①
①を $a=-\omega^{2}x$ を比較して、
$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$

鉛直ばね振り子

振動の中心をつりあいの位置(静止した状態の位置)として考える。

ばねにおもりをつるして静止した状態の自然長からの伸びを $x_{0}$ 、ばね定数を $k$ とすると、
つりあいの式を立てて、 $mg=kx_{0}$ ･･･① ∴ $x_{0}=\displaystyle \frac{mg}{k}$
おもりが位置 $x$ のとき、運動方程式を立てて、
$ma=mg-k(x_{0}+x)$
$=mg-kx_{0}-kx$
この式に①の $mg$ を代入して、
$=-kx$ 　←単振動の式 $F=-$ ○ $x$ の形
両辺を $m$ で割って、 $a=-\displaystyle \frac{k}{m}x$ ･･･①
①を $a=-\omega^{2}x$ を比較して、
$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$

単振り子

長さ $l$ の単ふち子において、 $\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$ となる。

周期は $T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ となり、この式から周期は振り子のおもりの重さによらないことが分かる。これを振り子の等時性という。

単振動のエネルギー

ばねの位置エネルギーは $\displaystyle \frac{1}{2}kx^{2}$ であらわされるので、
力学的エネルギー $E$ は
$E=\displaystyle \frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}$ とあらわされる。
ここで、単振動の式 $x=A\sin\omega t$ 、 $v=A\omega\cos\omega t$ を代入すると、
$E=\displaystyle \frac{1}{2}mA^{2}\omega^{2}\cos^{2}\omega t+\frac{1}{2}kA^{2}\sin^{2}\omega t$
$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$ より、
$E=\displaystyle \frac{1}{2}kA^{2}\cos^{2}\omega t+\frac{1}{2}kA^{2}\sin^{2}\omega t$
$=\displaystyle \frac{1}{2}kA^{2}$ ( $\cos^{2}\omega t+\sin^{2}\omega t=1$ より)
$k$ 、 $A$ は定数であるので、力学的エネルギーは保存することが分かる。